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李表面（Lie theory）亚博轮盘，定名自19世纪的挪威数学家索菲斯·李，是数学和物理学中一个极其病笃且无为诈欺的表面，其根柢见识是李群和李代数。这个表面提供了一个稠密的框架，用于描画对称性和一语气变换，因此在许多科学规模中王人有着无为的诈欺，包括量子力学、粒子物理、晶体学和机器东说念主学。本文咱们将深切探讨李表面的基本见识。
当你在谷歌中搜索“李表面”，会出现这张图片，
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它使得该表面看起来比骨子上更难。有关词，若是你老练复数，那么你也曾遭遇了一个例子，那等于那些于模为1的复数，
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你的本能响应可能是将这些数字视为 e^(i θ)。
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但若是你更深切地念念考，骨子上是在这个复数圆上施加了一个坐标系统，例如，咱们不错说这极少是 e^(i * 0.7π)，
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这个圆是所谓的李群（Lie group）的一个例子，将在稍后解释，但一般来说，它不错是更高维的，更难以可视化的。李表面的精髓是，即使在这些复杂的情况下，也要尽量施加一个坐标系统，使其更容易搞定。
让咱们稍许详备地进展李表面，从李群运行。李群同期是两个东西，它是一个群，但亦然一个流形。
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李群-群
最初让咱们了解一下什么是群，因为它是一个更容易的见识。
群基本上是一组温存某些属性的对象，使它们看起来具有对称性。咱们盼望对称性温存的第一个属性是阻塞性。以正三角形的对称性G为例，咱们将 h 示意为沿斜轴的反射对称性，g 示意为沿垂直轴的另一个反射对称性，那么将 g · h 界说为函数组合，即最初作念 h，然后作念 g。事实解说，g 和 h 组合是一个旋转。恶果不病笃-病笃的是恶果仍然是一个对称性，因此它仍然在 G 中。
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但为了使这个公理成就，咱们需要对每对 g 和 h 王人解说这极少。你不错一一考据这个情况，但把柄界说，对称性是任何保执对象不变的变换。是以若是 g 和 h 是对称的，它们保执对象不变，那么天然，先作念 h 然后作念 g 也会保执对象不变，因此亦然一个对称性。
风险预警对称性还顺从一些其他属性，如“衔尾律”：
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如存在一个恒等元：
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临了，对称性王人有一个逆：
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体育博彩网址导航若是一组对象温存这4个条目，它就组成一个群。一个对象的对称性天然地酿成一个群。若是给定一组数字或矩阵，比如一运行的复数单元圆，搜检该纠合是否温存这些属性是很有必要的。在这种情况下，你只需要使用模数相乘，致使不需要用欧拉公式，
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天然，不单是是这个圆酿成了一个群。旋转矩阵的纠合亚博轮盘，正交或酉矩阵王人是群，
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若是你对群不太老练，我横暴提出你对这些纠合的群公理进行补习。你所需要的只是转置、伴讲理行列式的一些其他属性，
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总之，群只是李表面的一部分。李群亦然流形，那么什么是流形呢？让咱们通过一个例子来链接：复数的圆。
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这个圆是流形，真理是在它上头的每极少，其邻域基本上看起来像一条线，只是变形了。让咱们放大这极少的邻域。
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在圆的情况下，这是一个弧，不错平滑地变形为直线。
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但不异病笃的是，这条线也不错平滑地变回弧。这种双向变形等于我所说的“看起来像一条线”。天然，不单是是圆上的这一特定点。每个点王人有这么的属性，即邻域看起来像一条线。这等于咱们称圆为一维流形（1-dimensional manifold）的原因。
关联词还有更高维的流形，真理是一样的。
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只是任何点的邻域不再看起来像一条线，而是（在这个圆环的情况下）看起来像一个平面。是以，一个圆环的名义是一个二维流形。一个更奇特的例子是SO（3），三维的旋转。SO（3）看起来像什么呢？
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关于三维旋转，最初要指明旋转轴，然后是绕这个轴的旋转角度θ。咱们不错将这个特定的旋转示意为流形上的一个点，球是一个实心球。球上的相应点将沿着旋转轴的某处。轴上的位置取决于绕这个轴的旋转角度。例如，这个轴上的点，从中心朝上的θ单元，对应于沿着这个轴的θ旋转。至于标的，使用右手限定。是以这个点在中心上方，意味着使用右手限定的逆时针旋转。临了，咱们将旋转角肆意为π，是以若是你的旋转角逾越π，那么就朝相背的标的旋转。
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法国队欧洲杯这等于咱们不错从几何上念念考SO（3）的神志，但这是一个止境奇怪的几何图形，因为这两个相对的点骨子上代表了相通的旋转：
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毕竟，它们王人代表了180度的顺时针或逆时针旋转。你不错把这两个点看作是一个重迭的门，当你朝一个标的旋转得越来越多，况兼逾越了π，那么立即通过门不时朝上行进。
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但这不单是是一双点，球的名义上的每一个地点王人是一个门，只是旋转轴不同。
若是听起来很奇怪，那确乎是奇怪的，关联词，这仍然是一个流形，更具体地说是一个三维流形，这不错在更高的维度中正确地可视化，但必须在5维空间中能力作念到这极少。总的来说，一个n维流形意味着所有这个词的邻域王人“看起来像”n维空间。
李群同期是群和流形的全体念念想意味着两件事：最初，咱们无用把这些SO(n)和SU(n)隧说念地看作一堆矩阵，咱们不错几何地念念考它们，尽管在更高维的旋转中，它变得不那么可视化。其次，在这两者的交叉口，咱们不错使用群论的器具和微分几何的器具，这是流形的接头，来接头它们。李最初将李群视为流形。
李代数
www.bettingcrownhome.com地球的名义是流形的另一个例子，天然地球的名义是鬈曲的，关联词咱们不错通过施加一个坐标系统（例如经纬度系统）来制作一张平面的舆图。这么，咱们就不错将复杂的鬈曲空间退换为更容易搞定的平面空间。这是一个将复杂的几何对象（如地球名义）简化为咱们不错更容易搞定的对象（如舆图）的例子。
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李的念念想是肖似的。李群是复杂的曲面流形，不异，咱们要成就一个坐标系统，一个平的空间来搞定它，阿谁平的空间等于李代数。让咱们用更多的细节讲解这极少。在李群是复数圆的情况下，坐标系统由1（恒等元）处的切线组成。
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它的使命旨趣是将切线向量与圆上的点相对应，这口舌常天然的。若是向量的长度是θ，那么咱们将它对应到李群上1处距离θ的一个点。
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骨子上，这个向量不错被以为是iθ，
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这是因为复数不仅是平面上的极少，也不错被以为是从原点到该点的一个向量，
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是以朝上的向量对应于纯虚数，
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因此，这个朝上的切线向量不错被以为是iθ。关联词咱们说，作为一个坐标系统，切线向量对应于距离恒等元θ的一个点，你知说念这个点是什么吗？这恰是
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iba百家乐注册这也与更一般的李群和李代数的相等相似。
最初，有一个李群，咱们想找到这个群的恒等元（即1）。一朝完成了这个任务，研讨恒等式处的切空间。这个平的空间是对应的李群的李代数。
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李代数作为坐标系统的使命旨趣是使切空间（即1处的切线）上的切线向量“包装”在李群上，然后取端点。
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买球软件犯法吗这种将切线向量对应到流形上的点的“包装”动作称为指数映射（exponential map）。在这个特定的情况下，向量iθ被包装到李群上的e^(iθ)，是以它骨子上是一个指数映射。
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但这种指数映射的见识适用于一般的流形，而不单是是李群。
换句话说，即使关于一般的流形，将切空间上的切线向量映射到流形上的点的动作仍然被称为指数映射，梦想情况下，咱们但愿只使用平的空间，因为它比鬈曲的对象更容易搞定。
这个指数映射，或者骨子上，其逆映射，或对数映射，将把流形上的极少复原到平坦空间上的一个切线向量。是以，这是链接李群的第一步。把它行为流形，咱们想要把李群复原为李代数，通过对数映射，将恒等元处的切空间复原。
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关联词，若是咱们把李群行为群，会怎么呢？群公理告诉咱们群元素和点乘应温存哪些条目，
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是以咱们存眷这么一个群的乘法是怎么运算的。
例如来说，有一个李群，其恒等元用红点示意，对应的李代数，是恒等元处的切空间。中间的红点对应于李群上的恒等元。
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让咱们研讨一双元素g，h，以及它们的乘积g·h。咱们不错用对数映射将所有这个词这些点复原到平坦空间上的切线向量，
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皇冠球盘是哪里的该映射将所有这个词这些点复原到平坦空间上的切线向量。现时，若是只好对应于g和h的这些切线向量，能否不参考李群，就能详情对应于g·h的切线向量呢？
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菠菜四大平台一个灵活的测度可能是
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但这些g和h是矩阵，它们的乘法神志与数字不同。
有关词，骨子上存在一个公式。若是用X示意log g，用Y示意log h，用Z示意log (g·h)，那么Z不错作为无限级数
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这看起来令东说念主生畏，但不错阐发为两个浅近的操作：最初，加法或减法。这恰是那些切线向量的加法或减法。其次，这些方括号，被称为李括号（Lie brackets）。现时，你不错将它们视为将两个切线向量变为另一个切线向量的浅近但特定的操作。因此，若是咱们还知说念李括号，那么就知说念对应于g·h的切线向量。这个公式，称为Baker-Campbell-Hausdorff公式，简称BCH公式，使咱们梗概十足在李代数上复制群乘法。是以，咱们不错只在李代数上运算，而不是在鬈曲的空间上。
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现时，在李群上，群公理告诉咱们乘法应该温存什么，而在李代数上，李括号也会相应地温存一些性质。
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现时，这些性质的细节不病笃，但要知说念，这些李括号的性质频繁来自于李群中的乘法性质。识别这些性质是十足祛除李群，只关注李代数的另一步。因此，尽管咱们原来想接头李群（因为它是一个更通用的结构），但咱们不错转而接头李代数，因为李代数包含了李群的所有这个词病治服息，况兼它是一个更浅近的结构。如今，大大王人教科书将李代数界说为一个具有温存所有这个词这些性质的李括号的向量空间，但应值得耀眼的是，这些李群是这些性质的病笃根源。
李表面图示
这引出这个被以为代表李表面的图示。
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这是什么呢？若是你传闻过怪兽群（monster group），它们见识是相似的。关于怪兽群，咱们想要研讨有限群，有限纠合G，
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这么不错界说温存这些公理的乘法。这些有限群不错阐发为不同的构建块，被称为浅近群（simple groups）。
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这些浅近群是有限群的原子，数学家想要对这些构建块进行分类。有许多不同的机制不错产生无限多的浅近群。以相似神志产生的构建块被归为一个无限族（infinite families）。关联词还有许多可能性，被称为“零碎”群（sporadic groups）。有26或27个，取决于你是否想将其中一个（构建块）计较在那些无限族中。
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趁机说一句，这个构建块被称为蒂茨群（Tis group），以法国数学家雅克·蒂茨定名。
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这有点离题，因为这些零碎群的明星是怪兽群，到现时为止是最大的、最复杂的零碎群（这26、27个零碎群中的）。这个分类与对李代数的分类肖似。肖似于群的界说，李代数也有一个温存某些性质的李括号。只用这些性质，咱们想要对李代数的构建块进行分类。肖似于群的情况，这些浅近李代数有无限的族。这不像群，正好只好4个，分歧标为A_n, B_n, C_n和D_n。除了这些无限族外，还有正好5个被遗漏的，被称为“例外”的李代数，分歧标为E_6、E_7、E_8、F_4和G_2。
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E_8是这五个中最复杂的，因此它在某种进度上是李代数中的怪兽群。这个特定的图片是E_8的图示描画：
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是以，即使想要接头李群，咱们也要转而接头李代数，因为所有这个词信息王人被保留了亚博轮盘，况兼它们更容易接头。
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